15. Груз массой 4 кг, падающий с высоты 5 м, проникает в грунт на глубину 0,05 м. Определить среднюю силу сопротивления грунта.

Дано:

\( m = 4 \) кг

\( h = 5 \) м

\( d = 0,05 \) м

Найти:

\( F_{ср} \) — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Работа, совершенная силой тяжести при падении груза, равна работе, совершаемой силой сопротивления грунта.

1. Работа силы тяжести (A_тяж):

Работа силы тяжести при падении равна изменению потенциальной энергии:

\[ A_{тяж} = mgh \]

\[ A_{тяж} = 4 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м} = 196 \text{ Дж} \]

2. Работа силы сопротивления грунта (A_ср):

Работа силы сопротивления грунта равна произведению силы сопротивления на глубину проникновения и косинуса угла между ними (угол 180°, \( \text{cos} 180^{\circ} = -1 \) ):

\[ A_{ср} = -F_{ср} d \]

3. Приравниваем работы по закону сохранения энергии (с учетом знака работы):

Изменение полной механической энергии равно работе всех неконсервативных сил. В данном случае, если считать начальную скорость равной 0, то:

\[ mgh = F_{ср} d \]

Отсюда выразим среднюю силу сопротивления грунта:

\[ F_{ср} = \frac{mgh}{d} \]

\[ F_{ср} = \frac{4 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}}{0,05 \text{ м}} = \frac{196 \text{ Дж}}{0,05 \text{ м}} = 3920 \text{ Н} \]

Ответ: Средняя сила сопротивления грунта равна 3920 Н.