15. Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
2. Скорость лодки по течению: \( v + 5 \) км/ч.
3. Скорость лодки против течения: \( v - 5 \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{132}{v + 5} \) часов.
5. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{132}{v - 5} \) часов.
6. По условию, \( t_2 = t_1 - 5 \).
7. Подставляем выражения для времени:
   \[ \frac{132}{v - 5} = \frac{132}{v + 5} - 5 \]
8. Приведем к общему знаменателю:
   \[ \frac{132(v + 5)}{ (v - 5)(v + 5) } = \frac{132(v - 5) - 5(v - 5)(v + 5)}{(v - 5)(v + 5)} \]
9. Уравнение:
   \[ 132(v + 5) = 132(v - 5) - 5(v^2 - 25) \]
   \[ 132v + 660 = 132v - 660 - 5v^2 + 125 \]
   \[ 660 = -660 - 5v^2 + 125 \]
   \[ 660 + 660 - 125 = -5v^2 \]
   \[ 1195 = -5v^2 \]
   \[ v^2 = -\frac{1195}{5} \]
   \[ v^2 = -239 \]
10. Поскольку \( v^2 \) не может быть отрицательным, в исходном условии, скорее всего, ошибка. Пересмотрим условие: «обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения». Это означает, что путь по течению занял на 5 часов меньше, чем путь против течения.
11. Следовательно, \( t_1 = t_2 - 5 \), то есть \( t_2 = t_1 + 5 \).
12. Но ведь возвращение в пункт отправления происходит против течения, если оно вышло из пункта отправления. Давайте перечитаем: «Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления». Значит, первый отрезок пути был против течения, а обратный — по течению.
13. Время против течения: \( t_{против} = \frac{132}{v - 5} \)
14. Время по течению: \( t_{по} = \frac{132}{v + 5} \)
15. По условию, на обратный путь (по течению) затрачено на 5 часов меньше, чем на путь против течения.
16. \( t_{по} = t_{против} - 5 \)
17. \( \frac{132}{v + 5} = \frac{132}{v - 5} - 5 \)
18. \( 5 = \frac{132}{v - 5} - \frac{132}{v + 5} \)
19. \( 5 = \frac{132(v + 5) - 132(v - 5)}{(v - 5)(v + 5)} \]
20. \( 5 = \frac{132v + 660 - 132v + 660}{v^2 - 25} \]
21. \( 5 = \frac{1320}{v^2 - 25} \]
22. \( 5(v^2 - 25) = 1320 \]
23. \( v^2 - 25 = \frac{1320}{5} \]
24. \( v^2 - 25 = 264 \]
25. \( v^2 = 264 + 25 \]
26. \( v^2 = 289 \]
27. \( v = \sqrt{289} \]
28. \( v = 17 \) (скорость не может быть отрицательной)

Ответ: 17