15. На стороне квадрата ABCD построили равносторонний треугольник AED. Диагональ AC пересекает его сторону ED в точке K. Верно ли, что треугольник CEK равнобедренный?

Да. Для проверки углов зададим координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(1,0)\), \(C=(1,1)\). Тогда вершина равностороннего треугольника \(E=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2})\), а точка K лежит на диагонали AC и стороне ED.

Направление EC образует с горизонталью угол 15°, так как \(\tan15^\circ=2-\sqrt3\). Направление ED образует угол −60° с горизонталью. Поэтому \(\angle CEK=75^\circ\).

Диагональ AC образует с горизонталью угол 45°. Луч CE, направленный от C к E, образует с ней угол 30°, поэтому \(\angle ECK=30^\circ\). Тогда по сумме углов треугольника \(\angle EKC=180^\circ-75^\circ-30^\circ=75^\circ\).

В треугольнике CEK равны углы при E и K, следовательно, равны противоположные им стороны CK и CE.

Ответ: да, треугольник CEK равнобедренный; CE = CK.