16. На двух сторонах квадрата построены равносторонние треугольники. Лежат ли отмеченные на рисунке точки A, B и C на одной прямой?

Да. Пусть сторона квадрата равна 1, а его нижняя левая вершина имеет координаты \((0,0)\). Тогда отмеченная верхняя левая вершина \(A=(0,1)\). Вершина B равностороннего треугольника, построенного внутрь квадрата на нижней стороне, имеет координаты \((\frac12,\frac{\sqrt3}{2})\). Вершина C равностороннего треугольника, построенного снаружи на правой стороне, имеет координаты \((1+\frac{\sqrt3}{2},\frac12)\).

Найдём угловые коэффициенты прямых AB и AC:

\(k_{AB}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}-1}{\frac12}=\sqrt3-2\).

\(k_{AC}=\frac{\frac12-1}{1+\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{1}{2+\sqrt3}=\sqrt3-2\).

У прямых AB и AC одинаковый угловой коэффициент, и обе проходят через A. Значит, это одна прямая.

Ответ: да, точки A, B и C лежат на одной прямой.