15. Найдите какое-нибудь число, которое при делении на 4 даёт в остатке 1, при делении на 5 даёт в остатке 2, а при делении на 6 даёт в остатке 3.

Если из искомого числа вычесть 3, остаток при делении на 4, 5 и 6 будет соответственно 2, 4 и 0. Подойдёт число 18: оно делится на 6, а при делении на 4 и 5 даёт остатки 2 и 3, поэтому проверим напрямую числа вида 6k + 3.

Число 27 подходит: 27 = 4 · 6 + 3 — это не нужный остаток при делении на 4. Проверим числа, сравнивая условия: числа, дающие остаток 3 при делении на 6, имеют вид 6k + 3. При делении такого числа на 4 остаток 1 означает, что k нечётно; при делении на 5 остаток 2 означает 6k + 3 ≡ 2, то есть k ≡ 4 (mod 5). Берём k = 9.

Тогда число равно 6 · 9 + 3 = 57. Проверка: 57 = 4 · 14 + 1, 57 = 5 · 11 + 2, 57 = 6 · 9 + 3.

Ответ: 57.