15. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 3, AC = 5.

Краткая запись:

• Треугольник ABC
• Окружность с центром на AC
• Окружность проходит через C
• Окружность касается AB в точке B
• AB = 3
• AC = 5
• Найти: Диаметр окружности — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть O — центр окружности, лежащий на AC. Так как окружность касается AB в точке B, то OB — радиус, и \( OB \perp AB \).
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора, \( BC^2 = AC^2 - AB^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \), значит \( BC = 4 \).
3. Шаг 3: В треугольнике ABC, \( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5} \) и \( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} \).
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике OBA (угол OBA = 90°), \( \sin A = \frac{OB}{OA} \).
5. Шаг 5: Обозначим радиус окружности как R. Тогда OB = R. OA = AC - OC = 5 - R (так как OC = R, поскольку C лежит на окружности).
6. Шаг 6: Подставим в формулу синуса: \( \frac{4}{5} = \frac{R}{5 - R} \).
7. Шаг 7: Решим уравнение:
   \( 4(5 - R) = 5R \)
   \( 20 - 4R = 5R \)
   \( 20 = 9R \)
   \( R = \frac{20}{9} \).
8. Шаг 8: Диаметр окружности равен \( 2R \).
   \( D = 2 \times \frac{20}{9} = \frac{40}{9} \).

Ответ: 40/9