16. Основания ВС и АD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

Условие:

• Трапеция ABCD
• BC || AD
• BC = 5
• AD = 20
• BD = 10
• Доказать: \( \triangle CBD \sim \triangle ADB \)

Доказательство:

1. Шаг 1: Рассмотрим углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.
   Так как BC || AD, то накрест лежащие углы равны: \( \angle CBD = \angle ADB \).
2. Шаг 2: Рассмотрим углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC (хотя AC не дана, мы можем рассматривать углы).
3. Шаг 3: Обратим внимание на углы, общие для обоих треугольников. Треугольники CBD и ADB не имеют общих углов.
4. Шаг 4: Проверим подобие по пропорциональности сторон.
   Нам нужно доказать, что \( \frac{CB}{AD} = \frac{CD}{AB} = \frac{BD}{DB} \) или \( \frac{CB}{AD} = \frac{BD}{AB} = \frac{CD}{DB} \).
5. Шаг 5: Из условия известно, что \( \frac{CB}{AD} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \).
6. Шаг 6: Также известно, что BD = 10.
7. Шаг 7: Рассмотрим соотношение сторон:
   \( \frac{CB}{AD} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \).
8. Шаг 8: Если бы треугольники были подобны, то отношение сторон было бы одинаковым.
   Проверим, если \( \angle BCD = \angle DAB \) (как углы при основании неравных трапеций), то подобие было бы по двум углам.
9. Шаг 9: Проверим другой вариант подобия:
   Если \( \frac{CB}{AB} = \frac{BD}{AD} \) (и \( \angle CBD = \angle ADB \) ), то подобие было бы по двум сторонам и углу между ними.
   \( \frac{5}{AB} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \) => \( AB = 10 \).
10. Шаг 10: Проверим, если \( \frac{CB}{BD} = \frac{BD}{AD} \) (и \( \angle CBD = \angle ADB \) ), то подобие было бы по двум сторонам и углу между ними.
    \( \frac{5}{10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \).
    Это условие выполняется!
11. Шаг 11: Итак, у нас есть:
    1. \( \angle CBD = \angle ADB \) (как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD).
    2. \( \frac{CB}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) и \( \frac{BD}{AD} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \).
    Следовательно, \( \frac{CB}{BD} = \frac{BD}{AD} \).
12. Шаг 12: Таким образом, треугольники CBD и ADB подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (признак подобия треугольников).

Доказано