15. Площадь прямоугольного треугольника равна $$72\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как \( \triangle ABC \), где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 30^{\circ} \), тогда \( \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2} ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.
2. В нашем случае \( S = 72\sqrt{3} \). Пусть \( a \) — катет, лежащий напротив угла \( 30^{\circ} \) (т.е. \( BC \)), а \( b \) — катет, лежащий напротив угла \( 60^{\circ} \) (т.е. \( AC \)).
3. Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет, лежащий напротив угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза равна \( c \), тогда \( a = \frac{c}{2} \).
4. Катет, прилежащий к углу \( 30^{\circ} \) (т.е. \( b \)), равен \( b = a · \sqrt{3} \) или \( b = c · \cos(30^{\circ}) = c · \frac{\sqrt{3}}{2} \).
5. Подставим \( a = \frac{c}{2} \) в формулу площади: \( 72\sqrt{3} = \frac{1}{2} · \frac{c}{2} · c · \cos(30^{\circ}) = \frac{c^2}{4} · \frac{\sqrt{3}}{2} \).
6. Упростим: \( 72\sqrt{3} = \frac{c^2 · \sqrt{3}}{8} \).
7. Сократим \( \sqrt{3} \): \( 72 = \frac{c^2}{8} \).
8. Найдем \( c^2 \): \( c^2 = 72 · 8 = 576 \).
9. Найдем гипотенузу: \( c = \sqrt{576} = 24 \).
10. Теперь найдем катет \( a \), который лежит напротив угла \( 30^{\circ} \): \( a = \frac{c}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Ответ: 12.