16. Радиус OB окружности с центром в точке О пересекает хорду АС в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

Решение:

По условию, радиус \( OB \) перпендикулярен хорде \( AC \). В окружности радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам. То есть \( AD = DC \). Нам нужно найти длину хорды \( AC = AD + DC = 2 AD \).

1. Радиус окружности \( OA = OB = 5 \) см.
2. \( OB = OD + DB \). Нам известно \( OB = 5 \) см и \( DB = 1 \) см.
3. Следовательно, \( OD = OB - DB = 5 - 1 = 4 \) см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ODA \) (так как \( OB \) перпендикулярен \( AC \), то \( OD \) перпендикулярен \( AD \)).
5. По теореме Пифагора в \( \triangle ODA \): \( OA^2 = OD^2 + AD^2 \).
6. Подставим известные значения: \( 5^2 = 4^2 + AD^2 \).
7. \( 25 = 16 + AD^2 \).
8. \( AD^2 = 25 - 16 = 9 \).
9. \( AD = \sqrt{9} = 3 \) см.
10. Длина хорды \( AC = 2 · AD = 2 · 3 = 6 \) см.

Ответ: 6 см.