15. Путь длиной 39 км первый велосипедист проезжает на 24 минуты дольше второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она на 2 км/ч больше скорости первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть $$v_1$$ — скорость первого велосипедиста, $$t_1$$ — время первого велосипедиста.

Пусть $$v_2$$ — скорость второго велосипедиста, $$t_2$$ — время второго велосипедиста.

Известно:

• Расстояние $$S = 39$$ км.


• $$t_1 = t_2 + 24$$ минуты. Переведем минуты в часы: $$24$$ мин $$= \frac{24}{60}$$ ч $$= \frac{2}{5}$$ ч $$= 0.4$$ ч.


• $$t_1 = t_2 + 0.4$$.


• $$v_2 = v_1 + 2$$ км/ч, следовательно $$v_1 = v_2 - 2$$ км/ч.

Используем формулу $$S = v \cdot t$$, то есть $$t = \frac{S}{v}$$.

1. Время первого велосипедиста: $$t_1 = \frac{39}{v_1}$$.


2. Время второго велосипедиста: $$t_2 = \frac{39}{v_2}$$.


3. Подставим выражения для $$t_1$$ и $$t_2$$ в уравнение $$t_1 = t_2 + 0.4$$:



\[ \frac{39}{v_1} = \frac{39}{v_2} + 0.4 \]



4. Заменим $$v_1$$ на $$v_2 - 2$$:



\[ \frac{39}{v_2 - 2} = \frac{39}{v_2} + 0.4 \]



5. Приведем к общему знаменателю и решим полученное уравнение:



\[ \frac{39}{v_2 - 2} - \frac{39}{v_2} = 0.4 \]




\[ \frac{39v_2 - 39(v_2 - 2)}{v_2(v_2 - 2)} = 0.4 \]




\[ \frac{39v_2 - 39v_2 + 78}{v_2^2 - 2v_2} = 0.4 \]




\[ \frac{78}{v_2^2 - 2v_2} = 0.4 \]




\[ 78 = 0.4(v_2^2 - 2v_2) \]




\[ 78 = 0.4v_2^2 - 0.8v_2 \]



6. Перенесем все в одну сторону и умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:



\[ 4v_2^2 - 8v_2 - 780 = 0 \]



7. Разделим на 4:



\[ v_2^2 - 2v_2 - 195 = 0 \]



8. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-195) = 4 + 780 = 784$$.


9. $$v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{2 \pm 28}{2}$$.


10. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:



\[ v_2 = \frac{2 + 28}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

Ответ: 15