15. Решите неравенство x² x-7 ≤ x.

Решение:

Для решения неравенства \[ \frac{x^2}{x-7} \le x \] , перенесем все члены в одну сторону:

• \[ \frac{x^2}{x-7} - x \le 0 \]

Приведем к общему знаменателю:

• \[ \frac{x^2 - x(x-7)}{x-7} \le 0 \]
• \[ \frac{x^2 - x^2 + 7x}{x-7} \le 0 \]
• \[ \frac{7x}{x-7} \le 0 \]

Теперь найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: 7x = 0 => x = 0
• Знаменатель: x - 7 = 0 => x = 7

Эти значения (0 и 7) разбивают числовую ось на три интервала: (-∞; 0), (0; 7), (7; +∞).

Проверим знак выражения \[ \frac{7x}{x-7} \] в каждом интервале:

• Интервал (-∞; 0): Возьмем x = -1. \[ \frac{7(-1)}{-1-7} = \frac{-7}{-8} = \frac{7}{8} \] (плюс).
• Интервал (0; 7): Возьмем x = 1. \[ \frac{7(1)}{1-7} = \frac{7}{-6} \] (минус).
• Интервал (7; +∞): Возьмем x = 8. \[ \frac{7(8)}{8-7} = \frac{56}{1} = 56 \] (плюс).

Нам нужно, чтобы выражение было ≤ 0. Это выполняется на интервале (0; 7).

Так как неравенство нестрогое (≤), то точка x = 0 (корень числителя) входит в решение. Точка x = 7 (корень знаменателя) не входит в решение, так как на ноль делить нельзя.

Следовательно, решение неравенства:

• \[ [0; 7) \]

Ответ: [0; 7)