15 Тип 17 № 7263. Упростите числовое выражение \(\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} + \sqrt{27 - 10\sqrt{2}}\)

1. **Предположение о виде подкоренных выражений:** - Попробуем представить подкоренные выражения в виде полных квадратов вида \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). 2. **Преобразование первого подкоренного выражения:** - Предположим, что \(27 + 10\sqrt{2} = (a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2\) - Получаем систему уравнений: \(a^2 + 2b^2 = 27\) и \(2ab = 10\), следовательно, \(ab = 5\). - Подберем значения: a=5, b=1. Подходит, так как \(5^2 + 2*1^2 = 25+2 =27\) и \(5*1 =5\) - Итак \(27+10\sqrt{2} = (5+\sqrt{2})^2\) 3. **Преобразование второго подкоренного выражения:** - Предположим, что \(27 - 10\sqrt{2} = (a - b\sqrt{2})^2 = a^2 - 2ab\sqrt{2} + 2b^2\) - Получаем систему уравнений: \(a^2 + 2b^2 = 27\) и \(2ab = 10\), следовательно, \(ab = 5\). - Подберем значения: a=5, b=1. Подходит, так как \(5^2 + 2*1^2 = 25+2 =27\) и \(5*1 =5\) - Итак \(27-10\sqrt{2} = (5-\sqrt{2})^2\) 4. **Упрощение исходного выражения:** - \(\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} + \sqrt{27 - 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} \) - \(= |5 + \sqrt{2}| + |5 - \sqrt{2}|\) - Так как \(5 + \sqrt{2}\) и \(5 - \sqrt{2}\) положительные числа, можно убрать модули: - \(= 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 10\) **Ответ:** Упрощенное выражение равно 10.