16 Тип 18 № 4147. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, \(\angle ACB = 75^\circ\). На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и \(\angle BAX = \angle YAX\). Найдите длину отрезка AY, если AX = 6.

1. **Анализ условия:** - Треугольник \(\triangle ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)). - \(\angle ACB = 75^\circ\). - \(AX = BX\), значит, \(\triangle ABX\) равнобедренный, \(\angle BAX = \angle ABX\). - \(\angle BAX = \angle YAX\). \(AX\) - биссектриса угла \(\angle BAY\). 2. **Углы треугольника ABC:** - Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, \(\angle BAC = \angle BCA = 75^\circ\). - Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \(\angle ABC = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ\). 3. **Углы треугольника ABX:** - Так как \(AX = BX\), \(\triangle ABX\) равнобедренный, и \(\angle BAX = \angle ABX = 30^\circ\). - \(\angle AXB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). 4. **Углы \(\angle XAY\):** - \(\angle BAX = \angle YAX = 30^\circ\), тогда \(\angle BAY = 2*30^\circ = 60^\circ\) 5. **Треугольник AYX:** - \(\angle YAX = 30^\circ\) и \(\angle AYX = 180^\circ - (120+30) = 30^\circ\) - \(\triangle AYX\) равнобедренный с \(AX = XY = 6\) 6. **Нахождение длины AY** - По теореме синусов:\(\frac{AY}{\sin(120^\circ)} = \frac{AX}{\sin(30^\circ)}\) - \(AY = \frac{AX * \sin(120^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{6 * \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6 * \sqrt{3}\) - Из-за того, что \(\angle AXY = \angle AYX\), треугольник \(\triangle AYX\) - равнобедренный, значит, \(AY = AX\), если угол \(AYX = 180 - 30 - 120 = 30^\circ\). И длина AY = 6. **Ответ:** Длина отрезка AY равна 6.