15. Тип 9 № 3138. Какое наименьшее число рёбер придётся пройти дважды, чтобы обойти все рёбра додекаэдра и вернуться в исходную вершину?

У додекаэдра 20 вершин, и в каждой сходятся 3 ребра. Все 20 вершин имеют нечётную степень.

Для замкнутого маршрута степени вершин должны быть чётными. Повторное прохождение одного ребра меняет чётность степеней двух его концов, поэтому потребуется повторить не менее 10 рёбер.

Десяти достаточно: вершины додекаэдра можно попарно соединить 10 его рёбрами и пройти эти рёбра второй раз. Тогда степени всех вершин маршрута будут чётными.

Ответ: 10 рёбер.