15. Упростите числовое выражение \(\sqrt{27+10\sqrt2}+\sqrt{27-10\sqrt2}\).

Представим подкоренные выражения как квадраты двучленов:

\(27+10\sqrt2=(5+\sqrt2)^2\), поскольку \(25+2=27\) и \(2\cdot5\cdot\sqrt2=10\sqrt2\).

Аналогично, \(27-10\sqrt2=(5-\sqrt2)^2\). Так как \(5>\sqrt2\), корни равны соответственно \(5+\sqrt2\) и \(5-\sqrt2\).

Их сумма: \(5+\sqrt2+5-\sqrt2=10\).

Ответ: 10.