15. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

Пусть второй катет BC равен b, а гипотенуза AB равна c. Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

\(14\sqrt{6}=\frac{35b}{c}\), где \(c^2=35^2+b^2\).

Возведём равенство для высоты в квадрат и подставим \(c^2=1225+b^2\):

\(1176=\frac{1225b^2}{1225+b^2}\).

\(1176(1225+b^2)=1225b^2\), поэтому \(49b^2=1176\cdot1225\), откуда \(b^2=29400\).

Тогда \(AB=\sqrt{35^2+29400}=175\). Синус угла B — отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB:

\(\sin\angle ABC=\frac{35}{175}=\frac15\).

Ответ: \(\frac15\).