15. В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 8, AC = 4. Найдите cos ∠ABC.

Решение:

Для нахождения косинуса угла в треугольнике используем теорему косинусов. Теорема косинусов гласит: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \), где \( C \) — угол, противолежащий стороне \( c \).

В нашем случае, сторона \( AC \) противолежит углу \( \angle ABC \).

Стороны: \( AB = c = 6 \), \( BC = a = 8 \), \( AC = b = 4 \). Угол — \( \angle ABC \), который мы обозначим как \( B \).

Применяем теорему косинусов для угла \( B \):

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \]

Подставим известные значения:

\[ 4^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cos B \]

\[ 16 = 64 + 36 - 96 \cos B \]

\[ 16 = 100 - 96 \cos B \]

Теперь выразим \( \cos B \):

\[ 96 \cos B = 100 - 16 \]

\[ 96 \cos B = 84 \]

\[ \cos B = \frac{84}{96} \]

Сократим дробь:

\[ \cos B = \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} = \frac{7}{8} \]

Ответ: \( \frac{7}{8} \).