15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=63° и BM=AM=MC.

Давай разберем эту задачу по шагам.

Что дано:

• Треугольник ABC.
• BM — медиана.
• \( ∠ C = 63^\circ \).
• \( BM = AM = MC \).

Что найти:

• Градусную меру угла A (\( ∠ A \)).

Анализ:

1. Медиана BM: Так как BM — медиана, то точка M делит сторону AC пополам. Значит, \( AM = MC \).

2. Равенство отрезков: Нам дано, что \( BM = AM = MC \).

3. Треугольник BMC: Поскольку \( BM = MC \), то треугольник BMC — равнобедренный. Углы при основании равны, значит, \( ∠ MBC = ∠ C = 63^\circ \).

4. Угол B в треугольнике BMC: Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому \( ∠ BMC = 180^\circ - (∠ MBC + ∠ C) = 180^\circ - (63^\circ + 63^\circ) = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ \).

5. Угол AMB: Углы \( ∠ BMC \) и \( ∠ AMB \) — смежные, их сумма равна 180°. Значит, \( ∠ AMB = 180^\circ - ∠ BMC = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ \).

6. Треугольник AMB: Поскольку \( AM = BM \), то треугольник AMB — равнобедренный. Углы при основании равны, значит, \( ∠ BAM = ∠ ABM \).

7. Находим углы в треугольнике AMB: Сумма углов равна 180°. \( ∠ BAM + ∠ ABM + ∠ AMB = 180^\circ \). Пусть \( ∠ BAM = ∠ ABM = x \). Тогда:

\( x + x + 126^\circ = 180^\circ \)

\( 2x = 180^\circ - 126^\circ \)

\( 2x = 54^\circ \)

\( x = 27^\circ \)

Значит, \( ∠ BAM = 27^\circ \).

Важно: Угол \( ∠ BAM \) — это и есть наш искомый угол \( ∠ A \) треугольника ABC.

Ответ: 27