15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=63° и BM=AM=MC.

Решение:

1. Анализируем условие:

• BM - медиана, значит, M - середина стороны AC. Следовательно, AM = MC.
• Нам дано, что BM = AM = MC. Это означает, что точка M равноудалена от всех вершин треугольника A, B, C.
• Это возможно только если M является центром описанной окружности.

2. Рассматриваем треугольники:

• Треугольник BMC: Так как BM = MC, то он равнобедренный. Углы при основании равны: ∠MBC = ∠C = 63°.
• Треугольник ABM: Так как BM = AM, то он тоже равнобедренный. Угол при основании AM равен ∠BAM = ∠A.
• Угол BMC: Сумма углов в треугольнике BMC равна 180°. ∠BMC = 180° - (∠MBC + ∠C) = 180° - (63° + 63°) = 180° - 126° = 54°.
• Угол AMB: Углы ∠BMC и ∠AMB - смежные, их сумма равна 180°. ∠AMB = 180° - ∠BMC = 180° - 54° = 126°.
• Угол A в треугольнике ABM: В равнобедренном треугольнике ABM, углы при основании AM равны: ∠BAM = ∠A. Сумма углов в треугольнике ABM равна 180°. ∠A + ∠BAM + ∠AMB = 180°. Так как ∠BAM = ∠A, то 2∠A + 126° = 180°.
• 2∠A = 180° - 126°
• 2∠A = 54°
• ∠A = 54° / 2
• ∠A = 27°

Ответ: Градусная мера угла А равна 27°.

Ответ: 27