15. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, BC = 8√6. Найдите АС.

Решение:

Используем теорему синусов для треугольника ABC:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где a = BC, b = AC, c = AB.

Нам даны:

• Угол A = 45°
• Угол B = 60°
• Сторона a (BC) = 8√6

Нам нужно найти сторону b (AC).

1. Находим угол C:\[ C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75° \]
2. Применяем теорему синусов:\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]
3. Подставляем известные значения:\[ \frac{8\sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 60°} \]
4. Вычисляем синусы:\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
5. Подставляем значения синусов в уравнение:\[ \frac{8\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
6. Упрощаем:\[ 8\sqrt{6} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \times \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ 16\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = AC \times \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ 16\sqrt{3} = AC \times \frac{2}{\sqrt{3}} \]
7. Выражаем AC:\[ AC = 16\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AC = \frac{16 \times 3}{2} \] \[ AC = \frac{48}{2} \] \[ AC = 24 \]

Ответ: 24