15 В треугольнике АВС угол С равен 43°, отрезок AD — биссектриса угла А, угол ADB равен 87°. Найдите градусную меру угла А.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABD.

1. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2. В треугольнике ABD: \( \angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180° \).
3. Нам известны \( \angle ADB = 87° \).
4. Найдем \( \angle ABD \) (это же угол \( \angle ABC \) треугольника ABC).
5. Рассмотрим треугольник BCD. Угол \( \angle BDC \) является смежным к углу \( \angle ADB \).
6. \( \angle BDC = 180° - \angle ADB = 180° - 87° = 93° \).
7. В треугольнике BCD: \( \angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180° \).
8. \( \angle CBD + 43° + 93° = 180° \).
9. \( \angle CBD + 136° = 180° \).
10. \( \angle CBD = 180° - 136° = 44° \).
11. Таким образом, \( \angle ABC = 44° \).
12. Теперь вернемся к треугольнику ABD.
13. \( \angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180° \).
14. \( \angle DAB + 44° + 87° = 180° \).
15. \( \angle DAB + 131° = 180° \).
16. \( \angle DAB = 180° - 131° = 49° \).
17. AD — биссектриса угла А. Это значит, что \( \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A \).
18. \( \angle DAB \) — это \( \angle BAD \), который равен 49°.
19. Значит, \( \angle A = 2 \times \angle DAB = 2 \times 49° = 98° \).

Ответ: 98°.