15. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему синусов и связь между длиной дуги и соответствующей стороной треугольника.

1. Определим углы треугольника:

• Пусть длины дуг равны 3x, 4x и 11x.
• Сумма длин всех дуг окружности соответствует 360°.
• 3x + 4x + 11x = 360°
• 18x = 360°
• x = 360° / 18 = 20°
• Таким образом, длины дуг равны: 3 * 20° = 60°, 4 * 20° = 80°, 11 * 20° = 220°.
• Углы треугольника, вписанного в окружность, равны половине соответствующих дуг:
• Угол A = 60° / 2 = 30°
• Угол B = 80° / 2 = 40°
• Угол C = 220° / 2 = 110°

2. Применим теорему синусов:

• Теорема синусов гласит: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\), где R — радиус описанной окружности.
• Меньшая сторона треугольника соответствует наименьшему углу. Наименьший угол — 30°, значит, сторона, противолежащая ему, равна 14.
• Пусть сторона a = 14, тогда угол A = 30°.
• \(\frac{14}{\sin 30°} = 2R\)
• \(\sin 30° = 0.5\)
• \(\frac{14}{0.5} = 2R\)
• \(28 = 2R\)
• \(R = 28 / 2 = 14\)

Ответ: 14