16. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 38°, 78° и 64°.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности и касательных, а также свойствами углов в треугольниках.

1. Свойства касательных:

• Точки касания М, К, Р делят стороны треугольника.
• Рассмотрим отрезки касательных, исходящих из одной вершины треугольника. Они равны.
• Пусть вершины треугольника A, B, C. Точка касания на стороне BC — M, на AC — K, на AB — P.
• Тогда AP = AK, BP = BM, CM = CK.

2. Углы треугольника МКР:

• Углы треугольника МКР даны: 38°, 78°, 64°.
• Сумма углов в треугольнике МКР = 38° + 78° + 64° = 180°.

3. Связь углов треугольника МКР и углов треугольника АВС:

• В четырехугольнике APОK (где O - центр вписанной окружности), углы APO и AKO равны 90° (радиус перпендикулярен касательной).
• Угол A + Угол POK = 180°.
• Угол POK является внешним углом треугольника POM.

4. Рассмотрим треугольник OMK:

• Аналогично, в четырехугольнике BMOP, угол B + угол MOP = 180°.
• В четырехугольнике CMOK, угол C + угол MOK = 180°.

5. Углы треугольника МКР связаны с центральными углами:

• Угол MKP = 38°, Угол KPM = 78°, Угол PMK = 64°.
• Углы треугольника MKP являются половинами центральных углов, опирающихся на дуги, образованные точками касания.
• Например, угол KOP = 2 * (90° - угол AKM). Это не совсем так.

Более простой подход:

Рассмотрим углы, образованные отрезками, соединяющими вершины треугольника с центром вписанной окружности (O).

• Угол PKM = 38°. Треугольник OKM равнобедренный (OK = OM - радиусы). Угол OMK = угол OKM = 38°.
• Угол KMP = 64°. Треугольник OMP равнобедренный (OP = OM). Угол OPM = угол OMP = 64°.
• Угол PMK = 78°. Треугольник OPK равнобедренный (OP = OK). Угол OKP = угол OPK = 78°.

Теперь найдем углы треугольника АВС:

• Угол C = угол CMK + угол CKM. Здесь CKM - это угол OKM.
• Угол C = угол OMK + угол OKM = 38° + 38° = 76°. (Это неверно, т.к. M и K - точки касания на сторонах BC и AC).

Правильный подход:

• Угол между касательной и хордой равен половине дуги.
• Угол MKP = 38°. Этот угол опирается на дугу MP. Дуга MP = 2 * 38° = 76°.
• Угол KPM = 78°. Этот угол опирается на дугу KM. Дуга KM = 2 * 78° = 156°.
• Угол PMK = 64°. Этот угол опирается на дугу KP. Дуга KP = 2 * 64° = 128°.

Сумма дуг: 76° + 156° + 128° = 360°.

Центральные углы, соответствующие этим дугам:

• Угол MOP = 76°
• Угол KOM = 156°
• Угол KOP = 128°

Углы треугольника ABC связаны с центральными углами через четырехугольники:

• В четырехугольнике APОK: Угол A + Угол POK = 180° (Угол POK = 128°).
• Угол A = 180° - 128° = 52°.
• В четырехугольнике BPOM: Угол B + Угол POM = 180° (Угол POM = 76°).
• Угол B = 180° - 76° = 104°.
• В четырехугольнике CMOK: Угол C + Угол MOK = 180° (Угол MOK = 156°).
• Угол C = 180° - 156° = 24°.

Проверка: 52° + 104° + 24° = 180°.

Ответ: 52°, 104°, 24°