15. Задание 12 № 502313. а) Решите уравнение (25^cos x)^sin x = 5^cos x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π/2; −π].

Представим 25 как степень 5:

\((25^{\cos x})^{\sin x}=5^{2\sin x\cos x}\).

Тогда \(5^{2\sin x\cos x}=5^{\cos x}\). Поскольку основания равны и больше 1, показатели равны:

\(2\sin x\cos x=\cos x\),

\(\cos x(2\sin x-1)=0\).

Следовательно, \(\cos x=0\) или \(\sin x=\frac12\).

На отрезке [−5π/2; −π] получаем:

• \(\cos x=0\): \(x=-\frac{5\pi}{2},\ -\frac{3\pi}{2}\);
• \(\sin x=\frac12\): \(x=-\frac{11\pi}{6},\ -\frac{7\pi}{6}\).

Ответ: а) \(\cos x=0\) или \(\sin x=\frac12\); б) \(-\frac{5\pi}{2},\ -\frac{11\pi}{6},\ -\frac{3\pi}{2},\ -\frac{7\pi}{6}\).