150. Сумма двух натуральных чисел равна 50, а произведение — на 11 меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.

Пусть большее число — x, меньшее — y. Тогда x + y = 50, а разность квадратов равна (x − y)(x + y) = 50(x − y).

Обозначим разность чисел через d. Тогда xy = 50d − 11. Также, поскольку сумма равна 50, xy = (2500 − d²) : 4.

Приравниваем выражения: (2500 − d²) : 4 = 50d − 11. Получаем d² + 200d − 2544 = 0, откуда d = 12 (отрицательный корень не подходит).

Числа равны (50 + 12) : 2 = 31 и (50 − 12) : 2 = 19. Проверка: 31² − 19² = 600, 31·19 = 589; произведение на 11 меньше.

Ответ: 31 и 19.