1506. Сравните числа: а) log₃ 4 и ∛9; б) log₀,₅ 3 и sin 3; в) log₂ 5 и ∛7; г) lg 0,2 и cos 0,2.

а) Так как \(4<9\), то \(\log_3 4<\log_3 9=2\). При этом \(\sqrt[3]{9}>2\) неверно; сравним кубы: \((\log_3 4)^3<9\), поскольку \(\log_3 4<2\) и \(2^3=8<9\) недостаточно для вывода. Численно: \(\log_3 4\approx1.262\), \(\sqrt[3]{9}\approx2.080\), значит \(\log_3 4<\sqrt[3]{9}\).

б) Основание логарифма меньше 1, поэтому \(\log_{0.5}3<0\). Так как \(3\) радиан, \(\sin 3>0\). Следовательно, \(\log_{0.5}3<\sin 3\).

в) \(\log_2 5>2\), поскольку \(5>2^2\), а \(\sqrt[3]{7}<2\), поскольку \(7<2^3\). Значит, \(\log_2 5>\sqrt[3]{7}\).

г) \(\lg 0.2<0\), поскольку \(0.2<1\); \(\cos 0.2>0\). Значит, \(\lg 0.2<\cos 0.2\).

Ответ: а) \(\log_3 4<\sqrt[3]{9}\); б) \(\log_{0.5}3<\sin 3\); в) \(\log_2 5>\sqrt[3]{7}\); г) \(\lg 0.2<\cos 0.2\).