152. На подвижном диске укрепили математический маятник так, как показано на рисунке 27. Длина нити \(l=0{,}5\) м, расстояние \(r_0=10\) см. При какой угловой скорости вращения диска нить маятника отклонится от вертикали на угол \(45^\circ\)?

Точка подвеса находится на расстоянии \(r_0\) от оси, а шарик при отклонении наружу движется по окружности радиуса \(r_0+l\sin\alpha\).

1. По вертикали ускорения нет: \(T\cos\alpha=mg\).
2. По горизонтали натяжение обеспечивает центростремительное ускорение: \(T\sin\alpha=m\omega^2(r_0+l\sin\alpha)\).
3. Разделив второе уравнение на первое, получаем \(\omega^2=\frac{g\tan\alpha}{r_0+l\sin\alpha}\).
4. Подставим \(r_0=0.10\) м, \(l=0.50\) м, \(\alpha=45^\circ\): \(\omega=\sqrt{\frac{9.8}{0.10+0.50\sin45^\circ}}\approx4.65\ \text{рад/с}\).

Ответ: примерно \(4.7\ \text{рад/с}\).