154. С какой угловой скоростью внутри сферы радиусом \(R=20\) см должен вращаться небольшой шарик, чтобы он всё время находился на высоте \(h=5\) см относительно нижней точки сферы (рис. 28)? Трение не учитывайте.

Шарик движется по горизонтальной окружности внутри сферы. Расстояние этой окружности от вертикальной оси равно \(\rho=\sqrt{2Rh-h^2}\). Сила реакции сферы направлена к её центру.

1. По горизонтали центростремительное ускорение создаёт горизонтальная составляющая силы реакции: \(N\frac{\rho}{R}=m\omega^2\rho\).
2. По вертикали ускорения нет. Вертикальная составляющая реакции уравновешивает тяжесть: \(N\frac{R-h}{R}=mg\).
3. Исключая \(N\) и сокращая на \(\rho\), получаем \(\omega^2=\frac{g}{R-h}\).
4. Подставим \(R=0.20\) м и \(h=0.05\) м: \(\omega=\sqrt{\frac{9.8}{0.15}}\approx8.08\ \text{рад/с}\).

Ответ: примерно \(8.1\ \text{рад/с}\).