Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 156. Решить уравнения: 1) \(\sqrt{2x-34}=1+\sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{5x}+\sqrt{14-x}=8\); 3) \(\sqrt{15+x}+\sqrt{3+x}=6\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Область определения: \(x\geq17\). Положим \(t=\sqrt{x}\). После возведения в квадрат получаем \(2t^2-34=(1+t)^2\), то есть \((t-7)(t+5)=0\). С учётом \(t\geq0\), \(t=7\), поэтому \(x=49\). Проверка: \(\sqrt{64}=1+7\).
  2. Область определения: \(0\leq x\leq14\). Возводим в квадрат: \(14+4x+2\sqrt{5x(14-x)}=64\), поэтому \(\sqrt{5x(14-x)}=25-2x\), где обязательно \(x\leq\frac{25}{2}\). После повторного возведения в квадрат: \(9x^2-170x+625=0\), откуда \(x=5\) или \(x=\frac{125}{9}\). Второе значение не удовлетворяет условию \(x\leq\frac{25}{2}\); при \(x=5\) исходная сумма равна \(5+3=8\).
  3. Область определения: \(x\geq-3\). Положим \(t=\sqrt{x+3}\). Тогда \(t+\sqrt{t^2+12}=6\). Переносим \(t\) и возводим в квадрат: \(t^2+12=(6-t)^2\), откуда \(t=2\). Следовательно, \(x=1\); проверка: \(4+2=6\).
  4. Положим \(t=\sqrt{1-x}\), где \(t\geq0\). Тогда уравнение принимает вид \(\sqrt{1+2t^2}-t=1\). После возведения в квадрат: \(1+2t^2=(1+t)^2\), то есть \(t(t-2)=0\). Поэтому \(t=0\) или \(t=2\), что даёт \(x=1\) или \(x=-3\). Оба значения проверку проходят.

Ответ: 1) 49; 2) 5; 3) 1; 4) −3, 1.