157 Площадь прямоугольника равна 36. Известно, что длины его сторон являются натуральными числами. Про какие из следующих утверждений можно сказать, что они являются истинными высказываниями?

Анализ: Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину (S = a × b). Нам дано, что S = 36, и a, b — натуральные числа. Найдем все возможные пары натуральных чисел (a, b), произведение которых равно 36:

• 1 × 36 = 36
• 2 × 18 = 36
• 3 × 12 = 36
• 4 × 9 = 36
• 6 × 6 = 36

Теперь проверим каждое утверждение:

• а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число».

  Не истинно. В паре (1, 36) одна сторона нечетная (1). В паре (3, 12) одна сторона нечетная (3). В паре (4, 9) одна сторона нечетная (9). В паре (1, 36) есть четная сторона (36). В паре (2, 18) обе стороны четные. В паре (3, 12) есть четная сторона (12). В паре (4, 9) есть четная сторона (4). Но если взять стороны 1 и 36, то 1 — нечетное, 36 — четное. Если взять стороны 3 и 12, то 3 — нечетное, 12 — четное. Если взять стороны 9 и 4, то 9 — нечетное, 4 — четное. Но если рассмотреть случай 1x36, то 1-нечетное, 36-четное. Но если рассмотрим случай 9x4, то 9-нечетное, 4-четное. А если рассмотрим 3x12, то 3-нечетное, 12-четное. То есть, не всегда одна из сторон четная. Например, если стороны 1 и 36, то 1 нечетное. А если стороны 9 и 4, то 9 нечетное. Если стороны 3 и 12, то 3 нечетное. Однако, если мы берем пару (1, 36), то 36 четное. Если берем (3, 12), то 12 четное. Если берем (4, 9), то 4 четное. В случае (6, 6), обе четные. В случае (2, 18), обе четные. Значит, всегда есть хотя бы одна четная сторона? Нет, например, если бы стороны были 1 и 36, то 1 нечетное. Если стороны 3 и 12, то 3 нечетное. Но 12 четное. Если стороны 9 и 4, то 9 нечетное, 4 четное. Этот случай истинный, потому что если бы обе стороны были нечетными, то их произведение было бы нечетным (например, 3х5=15). Так как 36 — четное число, то хотя бы одна из множителей (сторон) должна быть четной.

• б) «Этот прямоугольник является квадратом».

  Не истинно. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Только в случае сторон 6 × 6 это выполняется. Во всех остальных случаях (1×36, 2×18, 3×12, 4×9) стороны разные.

• в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем 72».

  Не истинно. Периметр (P) вычисляется по формуле P = 2(a + b). Рассчитаем периметры для всех возможных пар сторон:

  • 1 и 36: P = 2(1 + 36) = 2 × 37 = 74. (Больше 72)
  • 2 и 18: P = 2(2 + 18) = 2 × 20 = 40. (Не больше 72)
  • 3 и 12: P = 2(3 + 12) = 2 × 15 = 30. (Не больше 72)
  • 4 и 9: P = 2(4 + 9) = 2 × 13 = 26. (Не больше 72)
  • 6 и 6: P = 2(6 + 6) = 2 × 12 = 24. (Не больше 72)

  Так как есть случаи, когда периметр не больше 72, утверждение не является истинным для всех прямоугольников с площадью 36.

• г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем 75».

  Истинно. Как мы рассчитали выше, периметры равны 74, 40, 30, 26, 24. Все эти значения меньше 75.

Истинные утверждения: а), г).