158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

Задание 158

Дано:

• \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \).
• Основание \( AC = 8 \) см.
• \( BM \) — медиана к боковой стороне \( BC \), \( M \) — середина \( AC \).
• \( BM \) делит \( \triangle ABC \) на \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \).
• \( P_{ABM} = P_{CBM} + 2 \) см (или наоборот).

Найти: боковую сторону \( AB \).

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) медиана \( BM \) к основанию \( AC \) является также высотой и биссектрисой.
2. \( M \) — середина \( AC \), поэтому \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.
3. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \).
4. У них:
• \( AB = CB \) (по условию, боковые стороны равнобедренного \( \triangle ABC \)).
• \( BM \) — общая сторона.
• \( AM = CM = 4 \) см (по свойству медианы).
5. Следовательно, \( \triangle ABM = \triangle CBM \) по трём сторонам (3 признак равенства треугольников).
6. Если треугольники равны, то и их периметры равны: \( P_{ABM} = P_{CBM} \).
7. Но по условию периметры отличаются на 2 см. Это значит, что медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два равновеликих по периметру треугольника.
8. Значит, условие задачи, что периметры отличаются на 2 см, некорректно, так как медиана к боковой стороне равнобедренного треугольника делит его на два равных треугольника.
9. Возможная интерпретация: Возможно, имеется в виду медиана, проведённая к одной из боковых сторон, например, к \( BC \). Пусть \( AM \) — медиана к \( BC \), \( M \) — середина \( BC \).
10. Тогда \( BM = MC = \frac{AB}{2} \) (так как \( AB = BC \)).
11. \( \triangle ABM \) и \( \triangle AMC \).
12. \( P_{ABM} = AB + AM + BM = AB + AM + \frac{AB}{2} = \frac{3}{2} AB + AM \).
13. \( P_{AMC} = AC + AM + MC = AC + AM + \frac{AB}{2} = 8 + AM + \frac{AB}{2} \).
14. \( P_{ABM} = P_{AMC} + 2 \) или \( P_{AMC} = P_{ABM} + 2 \).
15. Рассмотрим первый случай: \( \frac{3}{2} AB + AM = (8 + AM + \frac{AB}{2}) + 2 \).
16. \( \frac{3}{2} AB + AM = 10 + AM + \frac{AB}{2} \).
17. \( \frac{3}{2} AB - \frac{AB}{2} = 10 \).
18. \( AB = 10 \) см.
19. Проверим:
• Боковая сторона \( AB = 10 \) см.
• Основание \( AC = 8 \) см.
• \( BM \) — медиана к \( BC=10 \), значит \( BM=MC=5 \) см.
• \( AM \) — медиана к \( BC=10 \), значит \( AM \) — общая сторона.
• \( P_{ABM} = AB + BM + AM = 10 + 5 + AM = 15 + AM \).
• \( P_{AMC} = AC + MC + AM = 8 + 5 + AM = 13 + AM \).
• \( P_{ABM} = (13 + AM) + 2 = 15 + AM \). Верно.
20. Или второй случай: \( P_{AMC} = P_{ABM} + 2 \).
21. \( 8 + AM + \frac{AB}{2} = (\frac{3}{2} AB + AM) + 2 \).
22. \( 8 + \frac{AB}{2} = \frac{3}{2} AB + 2 \).
23. \( 8 - 2 = \frac{3}{2} AB - \frac{AB}{2} \).
24. \( 6 = AB \) см.
25. Проверим:
• Боковая сторона \( AB = 6 \) см.
• Основание \( AC = 8 \) см.
• \( BM = MC = 3 \) см.
• \( P_{ABM} = 6 + 3 + AM = 9 + AM \).
• \( P_{AMC} = 8 + 3 + AM = 11 + AM \).
• \( P_{AMC} = (9 + AM) + 2 = 11 + AM \). Верно.
26. В задаче не указано, к какой именно боковой стороне проведена медиана, и какой треугольник имеет больший периметр. Поэтому возможны два ответа.

Ответ: Боковая сторона треугольника равна 10 см или 6 см.