160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на прямой а.

Задание 160

Доказательство:

Часть а) Докажем, что каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В.

1. Пусть \( AB \) — данный отрезок.
2. Пусть \( M \) — середина отрезка \( AB \).
3. Прямая \( a \) проходит через точку \( M \) и перпендикулярна к \( AB \).
4. Пусть \( P \) — произвольная точка на прямой \( a \).
5. Рассмотрим треугольники \( \triangle PAM \) и \( \triangle PBM \).
6. У них:
• \( AM = BM \) (потому что \( M \) — середина \( AB \)).
• \( \angle PMA = \angle PMB = 90^\circ \) (потому что \( a \) перпендикулярна \( AB \)).
• \( PM \) — общая сторона.
7. Следовательно, \( \triangle PAM = \triangle PBM \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( PA = PB \).
9. Это означает, что точка \( P \) равноудалена от точек \( A \) и \( B \).
10. Так как \( P \) — произвольная точка на прямой \( a \), то это утверждение верно для любой точки на прямой \( a \).

Часть б) Докажем, что каждая точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на прямой а.

1. Пусть \( Q \) — произвольная точка, которая равноудалена от \( A \) и \( B \). То есть \( QA = QB \).
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle QAM \) и \( \triangle QBM \), где \( M \) — середина \( AB \).
3. У них:
• \( QA = QB \) (по условию).
• \( AM = BM \) (потому что \( M \) — середина \( AB \)).
• \( QM \) — общая сторона.
4. Следовательно, \( \triangle QAM = \triangle QBM \) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle QMA = \angle QMB \).
6. Углы \( \angle QMA \) и \( \angle QMB \) являются смежными, и их сумма равна \( 180^\circ \).
7. Так как они равны, то каждый из них равен \( \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \).
8. Следовательно, \( QM \) перпендикулярна \( AB \).
9. Прямая \( QM \) проходит через середину отрезка \( AB \) (точку \( M \)) и перпендикулярна к нему.
10. По определению, такая прямая и есть прямая \( a \).
11. Значит, точка \( Q \) лежит на прямой \( a \).

Вывод: Утверждения доказаны. Прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему, является серединным перпендикуляром.