161. В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы АМ и А1М1 равны, ВС = В1С1 и ∠AMB = ∠A1M1B1. Докажите, что ∆ABC = ∆ A1B1C1.

Задание 161

Дано:

• \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
• \( AM \) — медиана \( \triangle ABC \).
• \( A_1M_1 \) — медиана \( \triangle A_1B_1C_1 \).
• \( AM = A_1M_1 \).
• \( BC = B_1C_1 \).
• \( \angle AMB = \angle A_1M_1B_1 \).

Нужно доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Доказательство:

1. Так как \( AM \) и \( A_1M_1 \) — медианы, то \( M \) — середина \( BC \), а \( M_1 \) — середина \( B_1C_1 \).
2. Следовательно, \( BM = MC = \frac{BC}{2} \) и \( B_1M_1 = M_1C_1 = \frac{B_1C_1}{2} \).
3. По условию \( BC = B_1C_1 \), значит, \( BM = MC = B_1M_1 = M_1C_1 \).
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle AMB \) и \( \triangle A_1M_1B_1 \).
5. У них:
• \( AM = A_1M_1 \) (по условию).
• \( BM = B_1M_1 \) (так как \( BC = B_1C_1 \) и \( M, M_1 \) — середины).
• \( \angle AMB = \angle A_1M_1B_1 \) (по условию).
6. Следовательно, \( \triangle AMB = \triangle A_1M_1B_1 \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
7. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: \( AB = A_1B_1 \).
8. Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
9. У них:
• \( AB = A_1B_1 \) (доказано выше).
• \( BC = B_1C_1 \) (по условию).
• \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \) (эти углы равны как соответствующие углы в равных треугольниках \( \triangle AMB \) и \( \triangle A_1M_1B_1 \)).
10. Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Вывод: Равенство треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) доказано.