16. (3 балла) Решите уравнение. sin ²x + 3cosx-3=0.

Решение:

Решим тригонометрическое уравнение \(\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0\).

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Подставим его в уравнение:
• \((1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0\)
2. Приведём уравнение к виду квадратного относительно \(\cos x\):
• \(1 - \cos^2 x + 3\cos x - 3 = 0\)
• \(-\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0\)
• Умножим на -1: \(\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0\)
3. Сделаем замену переменной: пусть \(t = \cos x\). Получим квадратное уравнение:
• \(t^2 - 3t + 2 = 0\)
4. Решим квадратное уравнение:
• Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\).
• \(t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2\)
• \(t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1\)
5. Вернёмся к замене \(t = \cos x\):
• \(\cos x = 2\) — решений нет, так как \(-1 \le \cos x \le 1\).
• \(\cos x = 1\) — это частный случай. Решение: \(x = 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).