17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию у=3х²-х³ на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Исследование функции \(y = 3x^2 - x^3\)

1. Найдём производную функции:
• \(y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2\)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• \(6x - 3x^2 = 0\)
• \(3x(2 - x) = 0\)
• Критические точки: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2\).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• Интервал \((-\infty; 0)\): Возьмём \(x = -1\). \(y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9\) (функция убывает).
• Интервал \((0; 2)\): Возьмём \(x = 1\). \(y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3\) (функция возрастает).
• Интервал \((2; \infty)\): Возьмём \(x = 3\). \(y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9\) (функция убывает).
4. Определим точки экстремума:
• В точке \(x = 0\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
• Найдем значение функции в этой точке: \(y(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0\). Точка минимума: (0; 0).
• В точке \(x = 2\) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
• Найдем значение функции в этой точке: \(y(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4\). Точка максимума: (2; 4).

Выводы:

• Функция возрастает на интервале \((0; 2)\).
• Функция убывает на интервалах \((-\infty; 0)\) и \((2; \infty)\).
• Точка минимума: (0; 0).
• Точка максимума: (2; 4).