18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций у= х² и у=3х и при помощи интеграла найдите ее площадь

Построение фигуры и нахождение площади

1. Найдём точки пересечения графиков функций \(y = x^2\) и \(y = 3x\):
• Приравняем правые части уравнений: \(x^2 = 3x\)
• Перенесём всё в одну сторону: \(x^2 - 3x = 0\)
• Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x - 3) = 0\)
• Отсюда \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 3\).
• Найдем соответствующие значения \(y\):
• При \(x = 0\), \(y = 3 \cdot 0 = 0\). Точка пересечения: (0; 0).
• При \(x = 3\), \(y = 3 \cdot 3 = 9\). Точка пересечения: (3; 9).
2. Определим, какая функция находится выше на интервале \([0; 3]\):
• Возьмём тестовую точку, например, \(x = 1\).
• Для \(y = x^2\): \(y(1) = 1^2 = 1\).
• Для \(y = 3x\): \(y(1) = 3 \cdot 1 = 3\).
• Так как \(3 > 1\), функция \(y = 3x\) находится выше на данном интервале.
3. Найдём площадь фигуры с помощью определённого интеграла:
• Площадь \(S\) равна интегралу от разности верхней и нижней функций по пределам интегрирования (от \(x_1\) до \(x_2\)):
• \(S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx\)
• Вычислим интеграл:
• \(S = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}\)
• Подставим верхний и нижний пределы:
• \(S = \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - \left( \frac{3(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right)\)
• \(S = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - (0 - 0)\)
• \(S = \frac{27}{2} - 9\)
• \(S = 13.5 - 9\)
• \(S = 4.5\)

Ответ: Площадь фигуры равна 4.5.