16. Через середину отрезка АВ проедена прямая а. Из точек А и В к прямой а проведены перпендикуляры АС и ВД. Докажите, что АС=ВД.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники АОС и ВОД, где О - точка пересечения отрезка АВ и прямой а.
2. Дано:
   • О - середина отрезка АВ, значит, АО = ОВ.
   • Прямая а перпендикулярна АС и ВД, значит, ∠ АОС = ∠ ВОД = 90° (как вертикальные углы, образованные при пересечении прямой АВ и прямой а, где прямая а является перпендикуляром к АС и ВД).
   • ∠ CAO и ∠ DBO - Это углы между отрезком AB и перпендикулярами AC и BD.
   • Углы ∠ AOC и ∠ BOD - прямые, так как AC и BD перпендикулярны прямой a.
   • Углы ∠ OAC и ∠ OВD - Это углы при основании AB.
3. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу):
4. Треугольники АОС и ВОД прямоугольные (по определению перпендикуляра).
5. Гипотенузы АО и ВО равны (по условию, О - середина АВ).
6. Углы ∠ CAO и ∠ DBO равны, так как они являются углами при основании равнобедренного треугольника АОВ (который является равнобедренным, так как прямая а проходит через середину АВ и перпендикулярна ей, что не всегда верно. Переформулируем).
7. Переформулировка: Рассмотрим треугольники АОС и ВОД.
8. У нас есть:
   • АО = ОВ (О - середина АВ по условию).
   • ∠ AOC = ∠ BOD = 90° (так как АС и ВД - перпендикуляры к прямой а).
   • ∠ COA = ∠ DOB (вертикальные углы).
9. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):
10. ∠ AOC = ∠ BOD = 90°.
11. Угол ∠ OAC и угол ∠ OB D не обязательно равны.
12. Правильный признак: По стороне и двум прилежащим углам (или по гипотенузе и острому углу, если рассматривать треугольник АОВ и прямую а).
13. Рассмотрим треугольники АОС и ВОД:
14. ∠ AOC = ∠ BOD = 90° (по условию, AC ⊥ a и BD ⊥ a).
15. ∠ COA = ∠ DOB (как вертикальные углы).
16. AO = OB (по условию, O - середина AB).
17. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (СУ - сторона и два прилежащих угла), △ AOC = △ BOD.
18. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, значит, AC = BD.

Что и требовалось доказать.