16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°. Следовательно, \( \angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 82° = 98° \).

2. Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на одну дугу CD, поэтому \( \angle CBD = \angle CAD = 60° \).

3. В треугольнике BCD, сумма углов равна 180°. \( \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB \). Мы не знаем \( \angle ADB \).

4. Рассмотрим треугольник ABD. Угол \( \angle ADB \) нам неизвестен. Угол \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \). Угол \( \angle BAC \) нам неизвестен.

5. Угол \( \angle BCD \) и \( \angle BAD \) — противоположные углы, их сумма 180°.

6. Воспользуемся тем, что углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Угол \( \angle CAD = 60° \) опирается на дугу CD. Следовательно, \( \angle CBD = 60° \).

Угол \( \angle ABC = 82° \). Мы знаем, что \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \).

\( 82° = \angle ABD + 60° \)

\( \angle ABD = 82° - 60° = 22° \).

Ответ: 22