16 Дана окружность с центром в точке О радиуса 15 и точка Р такая, что ОР = 37. Через точку Р проведена прямая, пересекающая окружность в точках А и В таких, что АВ = 18, см. рисунок. Найдите длину отрезка ВР.

Пусть О - центр окружности, R - радиус окружности (R=15). Точка Р находится вне окружности, ОР = 37. Прямая, проходящая через Р, пересекает окружность в точках А и В. АВ = 18. Пусть точка пересечения прямой с окружностью ближе к Р будет А, а дальше - В. Тогда РВ = РА + АВ. Опустим перпендикуляр из О на хорду АВ. Пусть точка пересечения будет М. Тогда АМ = МВ = АВ/2 = 18/2 = 9. В прямоугольном треугольнике ОМА, ОА = R = 15, АМ = 9. По теореме Пифагора, ОМ^2 = ОА^2 - АМ^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144. Следовательно, ОМ = 12. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ОМР. ОР = 37, ОМ = 12. По теореме Пифагора, РМ^2 = ОР^2 - ОМ^2 = 37^2 - 12^2 = 1369 - 144 = 1225. Следовательно, РМ = 35. Так как М - середина АВ, то РВ = РМ + МВ = 35 + 9 = 44.