16 Докажите, что любая наклонная, проведённая из данной точки к данной прямой, меньше суммы перпендикуляра, проведённого из той же точки к этой прямой, и проекции наклонной.

Доказательство:

Пусть из точки M к прямой L проведён перпендикуляр MK (длина \( h \)), наклонная MN (длина \( l \)), а проекция наклонной — KN (длина \( p \)).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK (угол \( K = 90° \)).
2. По теореме Пифагора: \( MN² = MK² + KN² \).
3. Подставляя обозначения длин: \( l² = h² + p² \).
4. Из этого следует, что \( l = √{h² + p²} \).
5. Нам нужно доказать, что \( l < h + p \).
6. Рассмотрим неравенство \( √{h² + p²} < h + p \).
7. Возведём обе части неравенства в квадрат (так как обе части положительны): \( h² + p² < (h + p)² \).
8. Раскроем скобки: \( h² + p² < h² + 2hp + p² \).
9. Вычтем \( h² \) и \( p² \) из обеих частей: \( 0 < 2hp \).
10. Это неравенство верно, так как \( h \) (длина перпендикуляра) и \( p \) (длина проекции) — положительные величины (если наклонная не совпадает с перпендикуляром, т.е. \( p > 0 \)).
11. Если \( p = 0 \), то наклонная совпадает с перпендикуляром, и \( l = h \), а \( h + p = h \), то есть \( l = h + p \). Но в условии сказано "любая наклонная", что подразумевает, что она не совпадает с перпендикуляром.

Вывод: Наклонная меньше суммы перпендикуляра и её проекции.