20 Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Доказательство:

Пусть дана прямая $$a$$ и некоторое расстояние $$d > 0$$. Мы ищем множество точек плоскости, которые находятся на расстоянии $$d$$ от прямой $$a$$ и лежат по одну сторону от неё.

1. Возьмем точку P на прямой $$a$$.
2. Проведем перпендикуляр $$PK$$ к прямой $$a$$.
3. Отложим на перпендикуляре $$PK$$ точку $$M$$ так, что $$PM = d$$.
4. Рассмотрим все такие точки $$M$$.
5. Если мы сделаем это для всех точек $$P$$ на прямой $$a$$, мы получим новую прямую $$b$$.
6. По построению, любая точка $$M$$ на прямой $$b$$ находится на расстоянии $$d$$ от прямой $$a$$.
7. Почему прямая $$b$$ параллельна прямой $$a$$?
8. Если мы возьмем любую точку $$M'$$ на прямой $$b$$, то расстояние от $$M'$$ до $$a$$ будет равно $$d$$.
9. Если бы прямые $$a$$ и $$b$$ не были параллельны, то расстояние между ними не было бы постоянным. Однако, мы построили прямую $$b$$ таким образом, что расстояние от каждой её точки до $$a$$ равно $$d$$.
10. Согласно определению параллельных прямых, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Расстояние между параллельными прямыми постоянно.
11. Таким образом, прямая $$b$$ параллельна прямой $$a$$.

Вывод: Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, образует прямую, параллельную данной прямой.