18 Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые $$m$$ и $$n$$. Пусть $$m \nparallel n$$. Мы хотим доказать, что расстояние от любой точки на прямой $$m$$ до прямой $$n$$ одинаково, и наоборот.

1. Возьмем произвольную точку A на прямой $$m$$.
2. Проведем из точки A перпендикуляр AB к прямой $$n$$. Длина отрезка AB является расстоянием от точки A до прямой $$n$$.
3. Возьмем другую произвольную точку C на прямой $$m$$.
4. Проведем из точки C перпендикуляр CD к прямой $$n$$. Длина отрезка CD является расстоянием от точки C до прямой $$n$$.
5. Рассмотрим прямые $$m$$ и $$n$$. Поскольку они параллельны, расстояние между ними постоянно.
6. Представим, что мы строим прямоугольник ABCD, где A и C лежат на прямой $$m$$, а B и D — на прямой $$n$$.
7. По определению параллельных прямых, расстояние между ними постоянно. Это означает, что любой перпендикуляр, опущенный из одной прямой на другую, имеет одинаковую длину.
8. Таким образом, AB = CD.
9. То же самое верно и для точек, взятых на прямой $$n$$ и проведенных перпендикуляров к прямой $$m$$.

Вывод: Все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.