16. Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости xy задается формулами x′ = x, y′ = y, z′ = −z.

Пусть точка имеет координаты \(A(x;y;z)\), а её образ — \(A'(x';y';z')\). При симметрии относительно плоскости \(xy\) точка и её образ лежат на одной прямой, перпендикулярной этой плоскости. Поэтому координаты, параллельные плоскости, не меняются: \(x'=x\), \(y'=y\). Плоскость \(xy\) находится посередине между точками, значит, их расстояния до неё равны, но координаты по оси \(z\) противоположны: \(z'=-z\).

Ответ: \(x'=x,\ y'=y,\ z'=-z\).