19. Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.

Пусть точка O — центр симметрии, а точки A и B переходят соответственно в A′ и B′. Тогда O — середина отрезков AA′ и BB′. В векторной форме \(A'=2O-A\), \(B'=2O-B\), поэтому \(\overrightarrow{A'B'}=B'-A'=-(B-A)=-\overrightarrow{AB}\).

Следовательно, \(|A'B'|=|AB|\): расстояние между любой парой точек сохраняется. Значит, симметрия относительно точки является движением.