21. Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса.

Пусть круг имеет центр O и радиус r. При движении сохраняются расстояния, а значит, сохраняются все расстояния от точек круга до O. Обозначим образ центра через O′, а образ любой точки X круга — через X′. Тогда \(O'X'=OX\).

Так как для точек круга \(OX\le r\), получаем \(O'X'\le r\); для точек окружности \(OX=r\), поэтому \(O'X'=r\). Следовательно, образом круга является круг с центром O′ и радиусом r.