20. Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.

Пусть A и B — две точки, а A′ и B′ — их отражения относительно одной плоскости. Выберем координатную систему так, чтобы эта плоскость была плоскостью xy. Тогда A (x₁; y₁; z₁) переходит в A′ (x₁; y₁; −z₁), а B (x₂; y₂; z₂) — в B′ (x₂; y₂; −z₂).

Квадрат расстояния между точками до отражения равен \((x₂-x₁)^2+(y₂-y₁)^2+(z₂-z₁)^2\). После отражения он равен \((x₂-x₁)^2+(y₂-y₁)^2+((-z₂)-(-z₁))^2\), то есть тому же выражению. Значит, расстояние между любой парой точек сохраняется, поэтому симметрия относительно плоскости — движение.