16 Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 42°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Соединим точки A и O, B и O. Так как OA и OB — радиусы, то OA = OB. Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный.
• Так как касательные проведены из одной точки, то отрезки касательных равны: AC = BC (где C — точка пересечения касательных).
• Рассмотрим четырехугольник ACBO. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• Углы OAC и OBC равны 90°, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Угол ACB = 42° (по условию).
• Сумма углов в четырехугольнике ACBO:

\[ \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB + \angle AOB = 360^° \]

\[ 90^° + 90^° + 42^° + \angle AOB = 360^° \]

\[ 222^° + \angle AOB = 360^° \]

\[ \angle AOB = 360^° - 222^° \]

\[ \angle AOB = 138^° \]

• В равнобедренном треугольнике AOB углы при основании равны:

\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^° - \angle AOB}{2} \]

\[ \angle OBA = \frac{180^° - 138^°}{2} \]

\[ \angle OBA = \frac{42^°}{2} \]

\[ \angle OBA = 21^° \]

Ответ: 21