16. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен $$7\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата. Пусть сторона квадрата равна \( a \).

\( r_{вп} = \frac{a}{2} \)

По условию \( r_{вп} = 7\sqrt{2} \).

\( \frac{a}{2} = 7\sqrt{2} \)

\( a = 2 · 7\sqrt{2} = 14\sqrt{2} \).

Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата. Диагональ \( d \) квадрата находится по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \), следовательно \( d = a\sqrt{2} \).

\( d = 14\sqrt{2} · \sqrt{2} = 14 · 2 = 28 \).

Радиус описанной окружности \( r_{опи} = \frac{d}{2} \).

\( r_{опи} = \frac{28}{2} = 14 \).

Ответ: 14.