16. Решите уравнение: 18/(x²-9) = x/(x+3) + 4/(x-3)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим ограничения на значения 'x'. Знаменатели не должны быть равны нулю. \( x^2 - 9 eq 0 ightarrow (x-3)(x+3) eq 0 ightarrow x eq 3 \) и \( x eq -3 \).
2. Шаг 2: Приведем все дроби к общему знаменателю \( (x-3)(x+3) \). Для этого умножим правую часть уравнения: \( rac{x}{x+3} = rac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} \) и \( rac{4}{x-3} = rac{4(x+3)}{(x-3)(x+3)} \).
3. Шаг 3: Перепишем уравнение с общим знаменателем: \( rac{18}{(x-3)(x+3)} = rac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} + rac{4(x+3)}{(x-3)(x+3)} \).
4. Шаг 4: Приравняем числители, так как знаменатели равны: \( 18 = x(x-3) + 4(x+3) \).
5. Шаг 5: Раскроем скобки и упростим: \( 18 = x^2 - 3x + 4x + 12 \) \( 18 = x^2 + x + 12 \).
6. Шаг 6: Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + x + 12 - 18 = 0 \) \( x^2 + x - 6 = 0 \).
7. Шаг 7: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).
8. Шаг 8: Найдем корни уравнения: \( x_1 = rac{-b + ext{sqrt}(D)}{2a} = rac{-1 + ext{sqrt}(25)}{2(1)} = rac{-1 + 5}{2} = rac{4}{2} = 2 \) и \( x_2 = rac{-b - ext{sqrt}(D)}{2a} = rac{-1 - ext{sqrt}(25)}{2(1)} = rac{-1 - 5}{2} = rac{-6}{2} = -3 \).
9. Шаг 9: Проверим найденные корни с учетом ограничений. Корень \( x = -3 \) не удовлетворяет условию \( x eq -3 \), поэтому он является посторонним. Корень \( x = 2 \) удовлетворяет ограничениям.

Ответ: 2