16. Тип 14 № 412224 У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 300 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на вы- соту в три раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Пошаговое решение:

• Первый член прогрессии (высота после первого отскока): \( b_1 = 300 \) см.
• Знаменатель прогрессии (во сколько раз уменьшается высота): \( q = rac{1}{3} \).
• Нам нужно найти номер члена прогрессии \( b_n \), для которого \( b_n < 15 \).
• Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 · q^{n-1} \).
• Подставим известные значения: \( 300 · ig(rac{1}{3}ig)^{n-1} < 15 \).
• Разделим обе части на 300: \( ig(rac{1}{3}ig)^{n-1} < rac{15}{300} \).
• Упростим правую часть: \( rac{15}{300} = rac{1}{20} \).
• Получаем: \( ig(rac{1}{3}ig)^{n-1} < rac{1}{20} \).
• Чтобы неравенство выполнялось, показатель степени \( n-1 \) должен быть таким, чтобы \( 3^{n-1} > 20 \) (поскольку основание степени \( rac{1}{3} \) меньше 1, при увеличении показателя степени значение дроби уменьшается).
• Переберем значения \( n-1 \):
• Если \( n-1 = 1 \) (т.е. \( n = 2 \)), то \( 3^1 = 3 \) (меньше 20).
• Если \( n-1 = 2 \) (т.е. \( n = 3 \)), то \( 3^2 = 9 \) (меньше 20).
• Если \( n-1 = 3 \) (т.е. \( n = 4 \)), то \( 3^3 = 27 \) (больше 20).
• Таким образом, наименьшее целое значение \( n-1 \), удовлетворяющее условию, равно 3.
• Следовательно, \( n-1 = 3 \), откуда \( n = 4 \).
• Это означает, что после 4-го отскока высота станет меньше 15 см.

Ответ: 4