16. Точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Дано: Окружность с точками A и B.

• Отношение длин дуг: \( L_1 : L_2 = 9 : 11 \).

Найти: Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу (в градусах).

Решение:

Общая длина окружности соответствует полному центральному углу в 360°.

Отношение длин дуг \( 9:11 \) означает, что вся окружность разделена на \( 9 + 11 = 20 \) частей.

Меньшая дуга составляет 9 частей из 20.

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен величине этой дуги.

Найдем величину одной части:

\( ext{Величина одной части} = rac{360^°}{20} = 18^° \)

Меньшая дуга соответствует 9 частям. Поэтому центральный угол, опирающийся на меньшую дугу, равен:

\( ext{Меньший центральный угол} = 9 · 18^° \)

\( 9 · 18 = 9 · (10 + 8) = 90 + 72 = 162 \)

\( ext{Меньший центральный угол} = 162^° \)

Большая дуга соответствует 11 частям, и центральный угол будет \( 11 · 18^° = 198^° \).

Проверка: \( 162^° + 198^° = 360^° \). Отношение дуг: \( 162 : 198 \). Разделим на 18: \( 162/18 = 9 \), \( 198/18 = 11 \). Отношение \( 9:11 \), что верно.

Ответ: 162°